分式方程有增根怎么求

摘要： 分式方程是分母中含有未知数的方程，在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为 0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为 0）那么这个根叫做原分式方程的增根，增...

分式方程是分母中含有未知数的方程，在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为 0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为 0）那么这个根叫做原分式方程的增根。

增根的求法：

1、化分式方程为整式方程；

2、令最简公分母为 0，求出未知数的值；

3、将未知数的值代入原分式方程，求出增根。

例 1：解方程：\(\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}=1\)

解：

1、方程两边同乘以最简公分母\((x+2)(x-2)\)，化分式方程为整式方程：

\[

\begin{align*}

\frac{x-2}{x+2}-\frac{16}{x^2-4}&=1\\

(x-2)^2-16&=(x+2)(x-2)\\

x^2-4x+4-16&=x^2-4\\

-4x-12&=-4\\

-4x&=8\\

x&=-2

\end{align*}

\]

2、将\(x=-2\)代入最简公分母\((x+2)(x-2)\)，判断\(x=-2\)是否为增根：

\[

\begin{align*}

(x+2)(x-2)&=(-2+2)\times(-2-2)\\

&=0\times(-4)\\

&=0

\end{align*}

\]

3、因为最简公分母为 0，(x=-2\)是原分式方程的增根。

原分式方程无解。

例 2：解方程：\(\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^2-4}=0\)

解：

1、方程两边同乘以最简公分母\((x+2)(x-2)\)，化分式方程为整式方程：

\[

\begin{align*}

\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x^2-4}&=0\\

\frac{1}{x-2}+\frac{2}{(x+2)(x-2)}&=0\\

x+2+2&=0\\

x+4&=0\\

x&=-4

\end{align*}

\]

2、将\(x=-4\)代入最简公分母\((x+2)(x-2)\)，判断\(x=-4\)是否为增根：

\[

\begin{align*}

(x+2)(x-2)&=(-4+2)\times(-4-2)\\

&=-2\times(-6)\\

&=12

\end{align*}

\]

3、因为最简公分母不为 0，(x=-4\)不是原分式方程的增根。

原分式方程的解为\(x=-4\)。

例 3：解方程：\(\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x^2-1}=0\)

解：

1、方程两边同乘以最简公分母\((x+1)(x-1)\)，化分式方程为整式方程：

\[

\begin{align*}

\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x^2-1}&=0\\

\frac{2}{x-1}+\frac{3}{(x+1)(x-1)}&=0\\

2(x+1)+3&=0\\

2x+2+3&=0\\

2x+5&=0\\

2x&=-5\\

x&=-\frac{5}{2}

\end{align*}

\]

2、将\(x=-\frac{5}{2}\)代入最简公分母\((x+1)(x-1)\)，判断\(x=-\frac{5}{2}\)是否为增根：

\[

\begin{align*}

(x+1)(x-1)&=(-\frac{5}{2}+1)\times(-\frac{5}{2}-1)\\

&=(-\frac{3}{2})\times(-\frac{7}{2})\\

&=\frac{21}{4}

\end{align*}

\]

3、因为最简公分母不为 0，(x=-\frac{5}{2}\)不是原分式方程的增根。

原分式方程的解为\(x=-\frac{5}{2}\)。

分式方程有增根的求法是先将分式方程化为整式方程，然后令最简公分母为 0，求出未知数的值，最后将未知数的值代入原分式方程，判断是否为增根，如果是增根，则原分式方程无解；如果不是增根，则原分式方程有解。